Симметрия

Что такое симметрия? Обычно мы под этим словом понимаем либо зеркальную симметрию, когда левая половина предмета зеркально симметрична правой, либо центральную, как у древнего восточного знака «инь и янь» или у пропеллера. В этом понимании симметрия означает неизменность предмета при отражении в зеркале или при повороте относительно центра. Но вернем слову его первоначальное значение — «соразмерность» и будем понимать под ним не только неизменность предметов, но и физических явлений и не только при отражении, но и вообще при какой-либо операции. Например, при переносе установки из одного места в другое или при изменении момента отсчета времени. Для проверки, скажем, зеркальной симметрии явления можно построить установку с деталями и расположением частей, зеркально симметричными относительно прежней. Явление зеркально симметрично, если обе установки дают одинаковые результаты.
Проследим сначала, как проявляется самая простая симметрия — однородность и изотропность (эквивалентность всех направлений) пространства. Она означает, что любой физический прибор — часы, телевизор, телефон — должен работать одинаково в разных точках пространства, если не изменяются окружающие физические условия. То ж« самое относится и к повороту прибора, если отвлечься от силы тяжести, которая выделяет на поверхности Земли вертикальное направление. Эти замечательные свойства пространства использовались в глубокой древности, когда геометрия Евклида применялась на практике. Ведь геометрия как практическая наука имеет смысл, только если свойства геометрических фигур не меняются при их повороте и одинаковы в Греции и в Египте.
Измерения показали, что геометрические теоремы, примененные к реальным физическим объектам, действительно выполняются с колоссальной точностью для тел любого размера, в каком бы месте мы их ни проверяли и как бы ни поворачивали тела. Одно из таких измерений было сделано «королем математиков» Карлом Фридрихом Гауссом, который проверял, не отклоняется ли геометрия нашего мира для больших размеров от евклидовой, определяя свойства треугольника, образованного вершинами трех гор. Сейчас мы знаем, что в масштабах Вселенной и вблизи тяжелых масс геометрия отличается от евклидовой. Однако эти отличия далеко за пределами точности измерений Гаусса. Не только геометрические свойства, но и вообще все физические явления не зависят от перемещений или поворотов.
Еще одна важная симметрия — однородность времени. Все физические процессы протекают одинаково, когда бы они ни начались — вчера, сегодня, завтра. Электроны в атомах далеких звезд движутся в том же ритме, что и на Земле, — частота испускаемого ими света такая же, несмотря на то, что свет был испущен миллиард лет тому назад.
Законы природы не изменяются и от замены времени на обратное. Это означает, что взгляд назад являет такую же картину, как и взгляд вперед. Так ли это? Нам случается видеть, как яйцо, упавшее со стола, растекается, но никогда не доводилось наблюдать, как белок и желток собираются обратно в скорлупу и прыгают на стол. И тем не менее молекулы могут случайно так согласовать свои движения, что «самосборка» яйца свершится, хотя вероятность ее осуществления ничтожно мала и ждать чуда пришлось бы гораздо дольше, чем существует Вселенная. В простых системах явления такого рода действительно происходят с большой вероятностью: молекулы в малом объеме газа под влиянием столкновений то стекаются вместе, то растекаются так, что плотность только в среднем совпадает с плотностью газа.
Глубокий анализ подобных событий привел физиков к заключению, что «обратимость» времени существует не только в механике и электродинамике, где она прямо видна из уравнений, но и во многих других явлениях природы. Расширение Вселенной хотя и означает необратимость на космологических интервалах времени порядка миллиардов лет, но практически не влияет на обычные земные эксперименты.
Существует, кроме того, зеркальная симметрия: волчок, закрученный вправо, ведет себя так же, как закрученный влево, — единственная разница в том, что фигуры движения правого волчка будут зеркальным отражением фигур левого. Существуют зеркально асимметричные молекулы, как правая и левая рука, но если они образуются в одинаковых условиях, число левых молекул равно числу правых.
Зеркальная симметрия явлений природы неточная, как и большинство других симметрии. В слабых взаимодействиях, ответственных за радиоактивный распад, зеркальная симметрия нарушается. Даже в явлениях, не связанных с радиоактивными превращениями, влияние слабых взаимодействий приводит к небольшому нарушению зеркальной симметрии. Так, в атомах относительная неточность зеркальной симметрии — порядка 10–15. Однако влияние этого ничтожного нарушения на переходы между очень близкими уровнями не так уж и мало — порядка 10–3 — 10–8. В 1978 году Л.М. Баркову и М.С. Золотареву из Института ядерной физики новосибирского Академгородка удалось обнаружить это явление. Кроме того, слабые взаимодействия приводят также к небольшому нарушению временной обратимости.
Важнейшая симметрия, оказавшая влияние на всю современную физику, была обнаружена в начале XX века. Уже Галилей нашел замечательное свойство механических движений: они не зависят от того, в какой системе координат их изучать, в равномерно движущейся или в неподвижной. Они одинаковы в вагоне движущегося поезда и на перроне станции. Замечательный голландский физик Хендрик Антон Лоренц в 1904 году убедился, что таким свойством обладают и электродинамические явления, причем не только для малых скоростей, но и для тел, двигающихся со скоростью, близкой скорости света. При этом выяснилось, что скорость заряженных тел не может превысить скорости света.
Анри Пуанкаре показал, что результаты Лоренца означают инвариантность уравнений электродинамики относительно поворотов в пространстве-времени, то есть в пространстве, в котором, кроме трех координат, есть еще одна — временная.
Но самый важный шаг сделал Эйнштейн, обнаружив, что симметрия пространства-времени — всеобщая, что не только электродинамика, но все явления природы — физические, химические, биологические — не изменяются при таких поворотах. Ему удалось это сделать после глубокого и не сразу понятого современниками пересмотра наших привычных представлений о пространстве и времени.
Слово поворот надо было бы заключить в кавычки — это не обычный поворот, при котором не изменяются расстояния между точками, например, расстояние от какой-либо точки до начала координат. В четырехмерном пространстве, о котором мы только что говорили, по четвертой оси откладывается время t, помноженное на скорость света с, и поворот соответствует неизменности не расстояния до начала координат, а величины:
x21 + y21 + z21 – c2t21 = x22 + у22 + z22 – c2t22,
где x1, у1, z1, и x2, y2, z2 — координаты до и после поворота. Такой поворот обеспечивает постоянство скорости распространения света в разных системах координат.
Таким образом, все симметрии, которые мы до сих пор рассматривали, объединяются в одну, всеобщую — все явления природы инвариантны относительно сдвигов, поворотов и отражений в четырехмерном пространстве-времени. Инвариантность относительно сдвигов и поворотов в обычном пространстве получается как частный случай, когда сдвиг не изменяет отсчета времени или когда вращение происходит вокруг временной оси.
Нужно пояснять, что означает инвариантность явлений природы относительно поворотов. Все физические величины можно классифицировать по тому, как они изменяются при повороте. Есть величины, которые не изменяются вовсе, они называются скалярами. Другие — векторы — ведут себя как вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. При повороте системы координат длина вектора не изменяется, а его проекция на оси изменяется по известному закону.
Есть величины, изменяющиеся более сложно, например, как произведение двух векторов. Они называются тензорными.
Кроме векторных и тензорных величин, есть и другие, которые изменяются заданным образом при поворотах. Я не сразу решился их назвать, боясь испугать читателя незнакомым словом, — они называются спинорами. Из спиноров можно образовать квадратичную комбинацию, которая изменяется, как вектор; или другую — скалярную, не изменяющуюся при поворотах. Волновая функция электрона изменяется при поворотах, как спинор, или, кратко, она есть спинор.
Неизменность законов или уравнений при поворотах означает, что во всех слагаемых уравнения и в левой и в правой части стоят величины, одинаково изменяющиеся при поворотах. Это требование облегчает нахождение уравнений физики и придает им более красивый вид.
Так же, как бессмысленно сравнивать величины разной размерности, скажем, время и длину, массу и скорость: невозможно скаляр приравнивать к вектору.
Суть симметрии именно в этом разделении величин на скаляры, векторы, тензоры, спиноры... Ясно, как облегчается нахождение уравнений от требования, чтобы все слагаемые одинаково изменялись.
Классификация величин по их изменению при поворотах или при какой-либо другой операции — это следующий шаг в сторону глубины понимания природы. Жаль, что школьный курс ограничивается лишь первым шагом — классификацией физических величин по их размерности.
Симметриям, которые мы до сих пор рассматривали, соответствовали операции, не зависящие от пространственной точки. Во всем пространстве происходит одинаковый сдвиг или поворот. Такие симметрии называются глобальными. Можно было бы попытаться найти такие уравнения, так записать законы природы, чтобы они не изменялись не только при глобальных сдвигах и поворотах, но при сдвигах и поворотах, различных в разных точках. Такая симметрия называется локальной.
Именно из этого исходил Эйнштейн в поисках своих знаменитых уравнений тяготения, связавших геометрию пространства с плотностью материи. Уравнения тяготения. возникают как следствие локальной симметрии пространства-времени. Эти уравнения объединили механику и тяготение, из них при малых скоростях вытекают уравнения ньютоновой механики.
Мы пока рассматривали пространственно-временные, или, короче, пространственные, симметрии. В физике последнего времени играют важнейшую роль так называемые внутренние симметрии. Одна из них — калибровочная инвариантность, не вдаваясь в сложные объяснения, скажу, что она обеспечивает, в частности, справедливость такого важного закона, как закон Кулона. Даже малое нарушение калибровочной инвариантности в электродинамике несовместимо с тем, что нам известно о распространении длинных радиоволн.
Другой пример внутренней симметрии — «изотопическая инвариантность сильных взаимодействий». Она объясняет сходство целых семейств элементарных частиц, например, сходство нейтрона и протона. Обобщение этой симметрии привело физику к открытию кварков, из которых построены все сильно взаимодействующие частицы — адроны, такие, как нейтрон, протон, пи-мезон, прежде считавшиеся элементарными.